有限数学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ 写为等式。

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程乘以 $y^{2} - 1$ 。

$(y^{2} - 1) (x) = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $(y^{2} - 1) (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$y^{2} x - 1 x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y^{2} x - x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 $(\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

化简分母。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1^{2}} (y^{2} - 1)$

解题步骤 3.3.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)} (y^{2} - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

将 $\frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)}$ 乘以 $y^{2} - 1$ 。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 3.3.1.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1^{2})}{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 3.3.1.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 3.3.1.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.3.1.4.1

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.4.1.1

约去公因数。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 3.3.1.4.1.2

重写表达式。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

解题步骤 3.3.1.4.2

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.4.2.1

约去公因数。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

解题步骤 3.3.1.4.2.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} x - x = y^{2}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$y^{2} x - x - y^{2} = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$y^{2} x - y^{2} = x$

解题步骤 3.4.3

从 $y^{2} x - y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $y^{2} x$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} (x) - y^{2} = x$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1 = x$

解题步骤 3.4.3.3

从 $y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} (x - 1) = x$

解题步骤 3.4.4

将 $y^{2} (x - 1) = x$ 中的每一项除以 $x - 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $y^{2} (x - 1) = x$ 中的每一项都除以 $x - 1$ 。

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

解题步骤 3.4.6

化简 $\pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ 。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$

解题步骤 3.4.6.2

将 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$

解题步骤 3.4.6.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.6.3.1

将 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}}$

解题步骤 3.4.6.3.2

对 $\sqrt{x - 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}}$

解题步骤 3.4.6.3.3

对 $\sqrt{x - 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}}$

解题步骤 3.4.6.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.6.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.3.6

将 ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ 重写为 $x - 1$ 。

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解题步骤 3.4.6.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.6.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.6.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.6.3.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.6.3.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{1}}$

解题步骤 3.4.6.3.6.5

化简。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{x - 1}$

解题步骤 3.4.6.4

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

解题步骤 3.4.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。